จำนวนเฉพาะ จำนวนเชิงมิตรและจำนวนสมบูรณ์ โดย ผู้ช่วยศาสตราจารย์ถนอม เลขาพันธ์
นักคณิตศาสตร์มองความสวยงามของคณิตศาสตร์อยู่ที่เหตุผล การพิสูจน์ ศิลปะของการจัดเรียงของจำนวนแบบต่าง ๆ ในลักษณะเช่นเดียวกันนี้นักคณิตศาสตร์ยังมองความสวยงามของจำนวนเฉพาะ โดยการที่พยายามเรียงให้อยู่ในรูปแบบต่าง ๆ และสร้างแบบรูป และพยายามพิสูจน์ให้เห็นว่าข้อคาดการณ์หรือสิ่งที่พบนั้นเป็นจริงหรือไม่ ซึ่งเป็นที่ประจักษ์กันอยู่ทั่วไป ในที่นี้จะกล่าวถึงบางแง่มุมของจำนวนเฉพาะ และจำนวนต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้อง ดังนี้
บทนิยาม 1 จำนวนเฉพาะ(prime number)คือ จำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1 และมีเพียง 1 และตัวมันเองเท่านั้นที่หารลงตัว
ตามบทนิยาม 1 จะกล่าวถึงจำนวนเฉพาะที่เป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น แต่จำนวนเฉพาะอาจเป็นจำนวนเฉพาะลบก็ได้ ขึ้นอยู่กับว่าขณะนั้นจะศึกษาในขอบเขตใด ซึ่งถ้าต้องการศึกษากรณีที่เป็นจำนวนเฉพาะลบด้วยจะให้นิยามของจำนวนเฉพาะดังบทนิยาม 2 ดังนี้
บทนิยาม 2 จำนวนเฉพาะคือ จำนวนเต็มที่ไม่ใช่ – 1 , 0 และ 1 และมีเพียง –1 , 1 และ บวก หรือ ลบ ตัวมันเอง เท่านั้นที่หารลงตัว
ตามบทนิยาม 2 อาจกล่าวได้ว่า “ p เป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ p เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่
– 1 , 0 และ 1 และมีเพียง – 1 , 1 , p และ – p หาร p ลงตัว
จำนวนประกอบ (composite number) คือจำนวนนับที่มากกว่า 1 และไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เช่น 4 , 6 , 8 , 9 , 10 เป็นต้น
จำนวนนับตั้งแต่ 2 ถึง 100 ที่กำหนดให้ต่อไปนี้ ให้วงกลมล้อมรอบจำนวนเฉพาะ และกากบาททับจำนวนประกอบ
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
การหาจำนวนเฉพาะที่มีค่าตั้งแต่ 2 ขึ้นไป ด้วยการหาจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด คือ 2 แล้วนำ 2 ไปหาร ถ้า 2 หารลงตัวแสดงว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนประกอบ พบว่าจำนวนคู่ที่มากกว่า 2 ทุกจำนวนเป็นจำนวนประกอบ ให้กากบาททับเสียก่อน จากนั้นพบว่าจำนวนเฉพาะที่ถัดจาก 2 คือ 3 ให้ดำเนินการเช่นเดียวกับ 2 โดยมีวิธีดำเนินการตามขั้นตอนดังนี้
1. วงกลมล้อมรอบ 2 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะตัวแรกและเป็นจำนวนเดียวเท่านั้นที่เป็นจำนวนคู่
2. ให้กากบาททับจำนวนที่มี 2 เป็นตัวประกอบ
3. ถัดจากเลข 2 ให้วงกลมล้อมรอบจำนวนถัดไปจำนวนแรกที่ไม่ได้กากบาท คือ 3 จากนั้นให้กากบาททับจำนวนที่มี 3 เป็นตัวประกอบ
4. ถัดจากเลข 3 ให้วงกลมล้อมรอบจำนวนถัดไปจำนวนแรกที่ไม่ได้กากบาท คือ 5 จากนั้นให้กากบาททับจำนวนที่มี 5 เป็นตัวประกอบ
5. ถัดจากเลข 5 ให้วงกลมล้อมรอบจำนวนถัดไปจำนวนแรกที่ไม่ได้กากบาท คือ 7 จากนั้นให้กากบาททับจำนวนที่มี 7 เป็นตัวประกอบ
ทำเช่นนี้เรื่อยไปจนกระทั่งครบทุกจำนวน จะได้
จำนวนที่วงกลมล้อมรอบ เป็นจำนวนเฉพาะ ส่วนจำนวนที่กากบาท เป็นจำนวนประกอบ
จากการดำเนินการหาจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2 ถึง 100 พบว่ามีจำนวนเฉพาะทั้งหมด 25 จำนวน ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11 , 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
นอกจากนี้ยังพบว่าตั้งแต่ 100 ถึง 300 มีจำนวนเฉพาะทั้งหมด 37 จำนวน ดังนี้ 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293
นักคณิตศาสตร์พยายามจะหารูปแบบทั่วไปของจำนวนเฉพาะ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Euler Leonhard : นักคณิตศาสตร์ชาวสวิตเซอร์แลนด์ มีชีวิตอยู่ระหว่าง ค.ศ. 1707 - 1783) พบว่า f(n) = n^2 + n + 17 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 15 มีค่าเป็นจำนวนเฉพาะ แต่เมื่อ n เท่ากับ 16 จะได้ n^2 + n + 17 = n(n+1)+17 ซึ่งได้เท่ากับ 1617+17 = 17(16+1) = 1717 ซึ่งได้เป็นจำนวนประกอบและถ้า f(n) = n^2 + n + 17 แล้ว n มีเป็นจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยที่สุดเป็น 16 ที่ทำให้ f(n) เป็นจำนวนเฉพาะ
ผู้เขียนได้ทดลองตรวจสอบในกรณีที่ n เป็นจำนวนเต็มลบ คือ –1, –2, –3, . . . พบว่าผลของ f(n) = n2 + n + 17 เป็นจำนวนชุดเดียวกันกับกรณีที่ n เป็น 0, 1, 2, . . . ตามลำดับ แสดงดังตารางต่อไปนี้
n n2 + n + 17 จำนวนเฉพาะ n n2 + n + 17 จำนวนเฉพาะ
0 02 + 0 + 17 17 8 82 + 8 + 17 89
1 12 + 1 + 17 19 9 92 + 9 + 17 107
2 22 + 2 +17 23 10 102 + 10 + 17 127
3 32 + 3 + 17 29 11 112 + 11 + 17 149
4 42 + 4 + 17 37 12 122 + 12 + 17 173
5 52 + 5 + 17 47 13 132 + 13 + 17 199
6 62 + 6 + 17 59 14 142 + 14 + 17 227
7 72 + 7 + 17 73 15 152 + 15 + 17 257
ในทำนองเดียวกันนี้ ออยเลอร์ ยังพบว่า f(n) = n2 + n + 41 กรณีที่ n มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 39 จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเฉพาะ แต่เมื่อ n = 40 จะได้ผลลัพธ์ 1681 = 412 ซึ่งเป็นจำนวนประกอบ นั่นคือ จำนวนนับที่น้อยที่สุดที่ทำให้ f(n) = n2 + n + 41 เป็นจำนวนประกอบคือ 40
เมื่อ n เป็นเป็นจำนวนนับตั้งแต่ 2 ขึ้นไป แ.ล้วระหว่างจำนวนนับ n กับ 2n จะมีจำนวนเฉพาะเสมอ จริงหรือ
นอกจากนี้นักคณิตศาสตร์ยังมีข้อคาดเดาเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะอีกมากมาย ตัวอย่างเช่น
ข้อคาดเดา 1 : จำนวนเต็มคี่ สามารถเขียนให้อยู่ในรูป p + 2a2 เมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะหรือ 1 และ a 0
ข้อคาดเดา 2 : (ข้อคาดเดาของลากรองจ์) จำนวนเต็มคี่ที่มากกว่า 5 ทุกจำนวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูป p1 + 2p2 เมื่อ p1 และ p2 เป็นจำนวนเฉพาะ
ข้อคาดเดา 3 : จำนวนเต็มคู่ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 6 สามารถเขียนในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะ 2 จำนวนได้
ข้อคาดเดา 4 : จำนวนเต็มคี่ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 9 สามารถเขียนในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะ 2 จำนวนได้
ลองพิจารณาดูว่าข้อคาดเดาที่กล่าวข้างต้นเป็นจริงหรือไม่อย่างไร หรือใครพบว่ามีข้อคาดเดาอย่างอื่นลองนำมาพิจารณาดูก็แล้วกัน
ในปี 1983 สตานิสลาฟ อูแลม นักทฤษฎีเซต พบว่าจำนวนเฉพาะส่วนมากจะมีความสัมพันธ์กันในแนวทแยงมุม ถ้าเขียนจำนวนนับที่เริ่มจาก 1 แล้ววนเป็นก้นหอยทวนเข็มนาฬิกา และนอกจากนี้อูแลมได้เขียนจำนวนนับที่เริ่มจาก 17 แล้ววนเป็นก้นหอยทวนเข็มนาฬิกาจนถึง 272 พบว่าจำนวนเฉพาะยังคงเรียงเป็นแนวทแยงมุมเช่นกัน ยิ่งกว่านั้นยังปรากฏว่า เส้นทแยงมุมจากล่างซ้ายถึงบนสุดด้านขวา ทุกจำนวนเป็นจำนวนเฉพาะ อันได้แก่ 227 173 127 89 59 37 23 17 19 29 47 73 107 149 199 และ 257 และทุกตัวจะสอดคล้องกับ จำนวนเฉพาะ 16 จำนวนของออยเลอร์ ที่เกิดจากค่าของ f(n) เมื่อ n มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 15 อีกด้วย
จำนวนเฉพาะแฝด
จำนวนเฉพาะแฝด คือจำนวนเฉพาะคู่หนึ่ง ๆที่อยู่ถัดกัน โดยมีผลต่างเท่ากับ 2 ตัวอย่างจำนวนเฉพาะแต่ละคู่ต่อไปนี้เป็นจำนวนเฉพาะแฝด 3 กับ 5 , 5 กับ 7 , 11 กับ 13 และ 1949 กับ 1951 เป็นต้น
จำนวนเชิงมิตร
จำนวนเชิงมิตร (amicable numbers) คือจำนวนนับสองจำนวนที่ ผลบวกของตัวประกอบของจำนวนที่หนึ่งทุกตัวยกเว้นตัวมันเอง จะเท่ากับจำนวนที่สอง และในทำนองกลับกันคือผลบวกของตัวประกอบของจำนวนที่สองยกเว้นตัวมันเองจะเท่ากับจำนวนแรกเช่นกัน
ตัวอย่างเช่น จำนวน 220 กับ 284 เรียกว่า “จำนวนเชิงมิตร”
เพราะว่า ตัวประกอบทั้งหมดของ 220 คือ 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220 ผลรวมของตัวหารเหล่านี้ยกเว้น 220 คือ 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 +110 = 284
และตัวประกอบทั้งหมดของ 284 คือ 1, 2, 4, 71, 142, 284 และผลรวมของตัวหารเหล่านี้ยกเว้น 284 คือ 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
นอกจากนี้ยังพบว่า 17,296 กับ 18416 เป็นจำนวนเชิงมิตร ส่วน 1184 กับ 1210 เป็นจำนวนคู่มิตรหรือไม่ ทดลองคำนวณดู
จำนวนสมบูรณ์
จำนวนสมบูรณ์ ( perfect number ) คือ จำนวนซึ่งมีค่าเท่ากับผลบวกของตัวประกอบของมันทุกตัว ยกเว้นตัวมันเอง
ตัวอย่างเช่น 6 เป็นจำนวนสมบูรณ์ เพราะตัวประกอบทั้งหมดของ 6 คือ 1,2, 3, 6
และ ได้ความสัมพันธ์ว่า 6 = 1 + 2 + 3
จำนวนที่มีสมบัติเช่นนี้เรียกว่าจำนวนสมบูรณ์ เช่น 6, 28, 496 , 8128
ยุคลิด (Euclid) ได้พิสูจน์ให้เห็นว่า ถ้า 2n – 1 เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว 2n – 1(2n – 1) จะเป็นจำนวนสมบูรณ์
ให้ n = 2 ได้ว่า 22 – 1 = 3 และ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ
ดังนั้น (22 – 1)(22 – 1) = 2 (3) = 6
จึงได้ว่า 6 เป็นจำนวนสมบูรณ์ตัวที่หนึ่ง
ให้ n = 3 ได้ว่า 23 – 1 = 7 และ 7 เป็นจำนวนเฉพาะ
ดังนั้น (23 – 1)(23 – 1) = 4 (7) = 28
จึงได้ว่า 28 เป็นจำนวนสมบูรณ์ตัวที่หนึ่ง
ให้ n = 4 ได้ว่า 24 – 1 = 15 และ 15 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
ดังนั้น สูตรนี้ จึงไม่ได้จำนวนสมบูรณ์ เมื่อ n = 4
ให้วงกลมล้อมรอบจำนวนเฉพาะแล้วสังเกตสิ่งที่เกิดขึ้นว่ามีความสัมพันธ์กันอย่างไร
100 99 98 97 96 95 94 93 92 91
65 64 63 62 61 60 59 58 57 90
66 37 36 35 34 33 32 31 56 89
67 38 17 16 15 14 13 30 55 88
68 39 18 5 4 3 12 29 54 87
69 40 19 6 1 2 11 28 53 86
70 41 20 7 8 9 10 27 52 85
71 42 21 22 23 24 25 26 51 84
72 43 44 45 46 47 48 49 50 83
73 74 75 76 77 78 79 80 81 82
ให้วงกลมล้อมรอบจำนวนเฉพาะแล้วสังเกตสิ่งที่เกิดขึ้นว่ามีความสัมพันธ์กันอย่างไร
272 271 270 269 268 267 266 265 264 263 262 261 260 259 258 257
213 212 211 210 209 208 207 206 205 204 203 202 201 200 199 256
214 161 160 159 158 157 156 155 154 153 152 151 150 149 198 255
215 162 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 148 197 254
216 163 118 81 80 79 78 77 76 75 74 73 106 147 196 253
217 164 119 82 53 52 51 50 49 48 47 72 105 146 195 252
218 165 120 83 54 33 32 31 30 29 46 71 104 145 194 251
219 166 121 84 55 34 21 20 19 28 45 70 103 144 193 250
220 167 122 85 56 35 22 17 18 27 44 69 102 143 192 249
221 168 123 86 57 36 23 24 25 26 43 68 101 142 191 248
222 169 124 87 58 37 38 39 40 41 42 67 100 141 190 247
223 170 125 88 59 60 61 62 63 64 65 66 99 140 189 246
224 171 126 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 139 188 245
225 172 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 187 244
226 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 243
227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242
วันศุกร์ที่ 26 มีนาคม พ.ศ. 2553
สมัครสมาชิก:
บทความ (Atom)